La distribución binomial.

Hola mis queridos lector@s de El Rincón del Sueko. Hacía tiempo que no escribía sobre algún concepto Lean del que ya hemos hablado anteriormente.Es frecuente que en control de calidad se den variables del tipo “pasa, no pasa”. Por ejemplo, un artículo cumple con especificaciones o no, una pieza resiste cierta fuerza o no, una lámpara enciende o no. Un experimento aleatorio donde los posibles resultados de cada ensayo son: “éxito” o “fracaso” se conoce como experimento Bernoulli.

Hoy vamos a hablar de la distribución binomial y de su aplicación en la gestión de la calidad.

Experimento Bernoulli. Ensayo aleatorio que sólo tiene dos resultados posibles llamados “éxito” y “fracaso”.
Distribución binomial (n, p). Proporciona la probabilidad de observar x éxitos en una secuencia de n experimentos Bernoulli independientes con una probabilidad constante p de éxito.

En control de calidad se suele llamar “éxito” al resultado con connotación negativa de los dos posibles, dado que el interés de un estudio se enfoca directamente a investigar cómo reducir la ocurrencia de éstos. Un experimento aleatorio que consiste en una secuencia de n ensayos independientes Bernoulli con probabilidad de éxito constante p, recibe el nombre de experimento binomial.

La variable aleatoria X, que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial (n, p). La función de probabilidades de X es,
$$f\left( x;n,p \right) =\left( \begin{matrix} n \\ x \end{matrix} \right) { p }^{ x }{ \left( 1-p \right) }^{ n-x }\quad ,\quad x=0,1,2,...,n$$
donde
$$\left( \begin{matrix} n \\ x \end{matrix} \right) =\frac { n! }{ x!(n-x)! } $$
es el número de combinaciones de n elementos tomados de x en x.

Aquí, p generalmente es la proporción promedio de artículos defectuosos. Algunos ejemplos típicos para esta distribución son los siguientes:

• Un proceso produce 5% de piezas defectuosas. Sea X el número de piezas defectuosas en las siguientes 20 piezas producidas.

• En una zona marítima se ha determinado que el porcentaje de incidencia del virus del cólera es de 20%. Sea X las muestras positivas en los siguientes 15 muestreos.

• En la prueba final de artículos electrónicos se tiene un historial de que 1% tiene alguna falla que es necesario reparar antes de liberarlo. Sea X la cantidad de artículos con fallas en los siguientes 50 inspeccionados.

• De los nacimientos en un hospital, sea X la cantidad de niños varones en los siguientes 10 nacimientos.

Si X es una variable aleatoria con distribución binomial (n, p), entonces su media y varianza son:

μ = E(X) = np     y     σ² = V(X) = np(1 − p)

Para propósitos de interpretación es más adecuado trabajar con la proporción (X/n), en
lugar de con el número X (de artículos defectuosos). Entonces, su distribución acumulada
está dada por:

$$P(\hat { p } \le r)=P\left( \frac { X }{ n } \le r \right) =P\left( X\le nr \right) =\sum _{ x=0 }^{ \left[ nr \right] }{ \left( \begin{matrix} n \\ x \end{matrix} \right) } { p }^{ x }{ \left( 1-p \right) }^{ n-x }$$

donde [nr] es igual al entero más grande que es menor o igual a nr. La media de pˆ es p y su varianza es p(1 – p)/n.

Ejemplo práctico.

En un proceso de fabricación donde se produce una gran cantidad de artículos, se sabe que en promedio 2% de ellos están defectuosos. Los artículos son empacados en cajas de 10, y se quiere saber cuál es la probabilidad de que no haya ningún artículo defectuoso en cada caja. Si X es el número de artículos defectuosos por caja, entonces se quiere obtener P(X = 0), lo cual es:

$$P(X=0)=\frac { 10! }{ 0!(10-0)! } { (0.02) }^{ 0 }{ (1-0.02) }^{ 10-0 }={ (0.98) }^{ 10 }=0.82$$

Por lo tanto, se espera que 82% de las cajas no tenga ningún artículo defectuoso, mientras que el restante 18% tendrá al menos uno. Si se quisiera saber cuál es la probabilidad de que cada caja tenga exactamente un artículo defectuoso (P(X = 1)), entonces:

$$P(X=1)=\frac { 10! }{ 1!(10-1)! } { (0.02) }^{ 1 }{ (1-0.02) }^{ 10-1 }={ 10(0.02)(0.98) }^{ 9 }=0.167$$

Entonces, se espera que 16.7% de las cajas tenga exactamente un artículo defectuoso.

Calcular una binomial con Excel.

En la hoja de cálculo Microsoft Excel se pueden evaluar las probabilidades con la distribución binomial, para ello se utiliza la función:

DISTR.BINOM(x, n, p, valor lógico),

donde x es el número de éxitos del que se quiere obtener la probabilidad, n es el número de ensayos independientes o tamaño de muestra, p es la probabilidad de éxito en cada ensayo (proporción de artículos defectuosos, por ejemplo) y el valor lógico puede ser cero o uno; si se pone un uno entonces se calcula la función acumulada P(X ≤ x), y si es cero se calcula P(X=x).

Por último, vamos a ver una presentación donde, además de incluir teoría sobre esta distribución, incorpora unos ejercicios prácticos que facilitan la comprensión del tema de hoy.

La distribucion binomial de Adrián Murillo

Espero que este post haya sido de vuestro interés. Me encantaría, más que nunca, ver vuestras valoraciones y leer vuestros comentarios a través de las herramientas que este blog pone a vuestra disposición.

Muchísimas gracias a tod@s. ¡Salu2! 👍

#rincondelsueko en Twitter, Facebook, Flipboard y Google+